Dit is de regel waarmee generaties leerlingen de volgorde van rekenkundige bewerkingen hebben geleerd machtsverheffen, vermenigvuldigen, delen, worteltrekken, optellen en aftrekken. Waarbij expressies tussen haakjes eerst worden berekend.
In het J-forum kwam de vraag op waar die volgorde vandaan komt. Naar mijn mening heeft dat de volgende reden.
Een vermenigvuldiging met een natuurlijk getal, dat is een getal uit de range 0,1,2,....., is gedefinieerd als een herhaalde optelling. Zo is 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3, waarbij er 4 drieën voorkomen.(Tegenwoordig, onder invloed van computers, wordt het vermenigvuldigingsteken met * aangegeven i.p.v. met een x )
(Dus is 3 * 0 = = 0, want tussen de twee =-tekens komen 0 drieën voor die opgeteld 0 leveren.)
Op die manier doorredenerend is 3 * 4 + 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 5 = 17 en wordt het vermenigvuldigen dus eerst uitgevoerd.
Net zo is machtsverheffen herhaald vermenigvuldigen: 3 ^ 4 = 3 * 3 * 3 * 3 en dient dus vooraf te gaan aan dat vermenigvuldigen.
Omdat delen de omgekeerde - 'inverse' zeggen wiskundigen - bewerking is van vermenigvuldigen, net als aftrekken dat is bij optellen, hebben die gelijke preferentie.
Des te vreemder is de plek van worteltrekken. Als inverse bewerking van machtsverheffen hoort die daar direct achter te komen, wat niet het geval is. En ook de tweede inverse van machtsverheffen, de logaritme moet daar staan.
(De reden dat machtsverheffen twee inverses heeft is dat machtsverheffen niet commutatief is, d.w.z. dat 3 ^ 4 = 81 is niet gelijk aan 4 ^ 3 = 64. Optellen en vermenigvuldigen zijn wel commutatief, zoals je zelf makkelijk kunt nagaan.)
Dus eigenlijk moet het zijn (M, W. L), (V,D), (O,A), waarbij tussen haakjes gelijkwaardige operaties staan en de drie groepen de preferenties aangeven.
Overigens, dit zijn afspraken die geleerd worden (werden?) maar veel beter vervangen kunnen worden door andere, minder ingewikkelde afspraken. Het verdient namelijk verre de voorkeur expressies van rechts naar links uit te voeren, niet omdat over 100 jaar iedereen Chinees spreekt zoals men nu Engels spreekt, maar omdat dat in de wiskunde gebruikelijk is.
En dan kun je alsnog met haakjes werken om die voorkeur te doorbreken. Dus is dan 3 * 4 + 5 = 27. En (3 * 4) + 5= 17. Véél eenvoudiger.
De MVDWOA-volgorde was een conventie die voortkwam uit de behoefte om veel voorkomende wiskundige uitdrukkingen, met name veeltermen, allerlei varianten van a + bx + cx², overzichtelijk en compact weer te geven. Het weglaten van de vermenigvuldigingsoperator dient hetzelfde doel. Hoe minder symbolen hoe beter, schrijven is schrappen.
BeantwoordenVerwijderenWiskunde heeft geen natuurlijke volgorde van de bewerkingen. Vermenigvuldigen van reële getallen is niet gedefinieerd als herhaald optellen (denk aan pi*pi), en machtsverheffen van reële getallen is niet gedefinieerd als herhaald vermenigvuldigen (denk maar aan pi^pi).
De bijzondere plaats van de W in MVDWOA is te danken aan Descartes, die de bovenstreep bij het wortelteken invoerde. Hij vond de bovenstreep niet nodig bij een product, √ab. Als de context eenduidig is zal de moderne lezer nog steeds weinig moeite hebben om √ab te lezen als √(ab).
Leuk je reactie.
BeantwoordenVerwijderenIk moet je teleurstellen over de reële getallen. Dat zijn benaderingen van rationale getallen, breuken dus, en die worden weer gedefinieerd door gehelen. Dus ook de vermenigvuldiging (en machtsverheffen) van en met pi wordt gedefinieerd door herhaald optellen (en vermenigvuldigen).
Over Descartes en het worteltken was mij onbekend, waarvoor dank.
I consider your reaction as spam and will remove it
BeantwoordenVerwijderen